AMATIORY: September 2018

Apa itu Determinan Matriks?

Determinan matriks merupakan sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu. Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama atau matriks persegi dengan kata lain matriks yang berordo "n x n". Determinan bisa dituliskan dengan notasi nilai mutlak atau dua garis lurus yang mengapit matriks tersebut.

Contoh: Diketahui sebuah matriks A sebagai berikut

Maka notasi penulisan determinannya adalah

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Jika matriks A merupakan matriks bujur sangkar, maka
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang berordo sama maka
Jika A matriks bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya nol (0) atau sebanding, maka
Jika A matriks segitiga atas/bawah yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utamanya tak nol (0), maka
Jika A dan B matriks bujur sangkar yang berordo sama. Jika matriks B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris/kolom dengan konstanta k tak nol, maka
Jika A dan B matriks bujur sangkar yang berordo sama. Jika matriks B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris/kolom, maka
Jika A dan B matriks bujur sangkar yang berordo sama. Jika matriks B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris/kolom dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris/kolom yang lain, maka

Penyelesaian Determinan Matriks
Matriks berordo 2x2

Untuk matriks berordo 2x2, kita bisa langsung saja mengurangi hasil dari perkalian diagonal utama dengan hasil perkalian diagonal sekunder. Contoh:

Matriks berordo 3x3

Untuk matriks berordo 3x3 dan seterusnya, kita bisa melakukannya dengan beberapa cara yaitu:

Metode Sarrus

Metode sarrus ditemukan oleh matematikawan perancis yaitu Piere Sarrus. Skema sarrus atau metode sarrus biasa digunakan untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3x3.

Rumus umum atau skema umum metode sarrus yaitu:

Untuk memahami lebih lanjut, berikut adalah contoh soalnya:

Pertama kita letakkan kembali unsur-unsur kolom ke-1 dan kolom ke-2 disebelah kanan dari matriks A

Kemudian kita jumlah hasil dari perkalian unsur-unsur diagonal utama dan yang sejajar, lalu kita kurangi dengan penjumlahan hasil dari perkalian unsur-unsur diagonal sekunder dan yang sejajar, sehingga hasilnya akan sperti ini

Jadi determinan dari matriks A adalah 21

Metode Ekspansi Laplace

Metode ekspansi laplace atau metode ekspansi kofaktor merupakan cara atau metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yang berordo 3x3 sampai matriks berordo nxn.

Dalam metode ini, kita bisa memilih menyelesaikannya dengan baris ke-i atau kolom ke-j.

Berikut ini adalah contohnya:
Disini kita akan mencoba menggunakan baris ke-1 sehingga diperoleh rumus

Itu rumus metode laplace baris ke-1 pada matriks berordo 3x3, bagaimana jika 4x4, 5x5, dan seterusnya? Ya caranya tinggal lanjutin saja rumus itu, contoh:

Matriks A disini merupakan matriks berordo 4x4, maka langkah pertama kita tulis terlebih dahulu rumusnya, karena kita menggunakan baris ke-1, maka kita pakai rumus baris ke-1

"a" disini merupakan unsur-unsurnya, sehingga jika a11 maka artinya itu merupakan unsur baris ke-1 kolom ke-1.
Langkah selanjutnya adalah

Pada langkah ini terdapat determinan matriks berordo 3x3, kita bisa memilih menggunakan cara sarrus atau laplace lagi, sehingga digambar tersebut tertulis kosong ( ) yang artinya anda bisa menyelesaikannya sendiri dengan metode sarrus atau laplace lagi dan nanti hasilnya harus 19 serta anda juga bisa menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan baris ke-2, ke-3, ke-4 atau kolom ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, silahkan mencobanya sendiri agar lebih memahami metode ini dan hasil akhirnya nanti harus sama semua yaitu 19.

Metode Chio

Metode Chio merupakan metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yang berordo "n x n" dimana n lebih besar sama dengan 3.

Rumus umum metode Chio adalah

Contoh soal kita buat sama dengan soal dimetode laplace namun penyelesaiannya kita akan menggunakan metode chio

Maka didapat penyelesaian

Langkah selanjutnya kita bisa menyelesaikan determinan matriks tersebut dengan metode sarrus, laplace, atau chio lagi, jika kita menyelesaikannya dengan metode chio lagi maka kita bisa memisalkan matriks berordo 3x3 tersebut matriks C

Sehingga

Jadi,

Maka determinannya adalah 19, anda bisa juga menerapkan metode chio ini pada matriks berordo 5x5, 6x6, dan seterusnya.

Dekomposisi Metode Crout

Untuk menentukan determinan menggunakan metode crout, pertama tama kita harus merubah suatu matriks menjadi dua matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan atas, misalnya diketahui sebuah matrik A, maka determinan dengan dekomposisi crout ini matriks A akan diuraikan menjadi matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U), sehingga diperoleh

Contoh soal:
Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan dekomposisi metode crout!

Maka langkah-langkahnya adalah:
Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi 5

Iterasi 6

Iterasi 7

Sehingga diperoleh

Dari persamaan diatas, yaitu:

Maka det(A)=det(L)det(U)
det(A)=(2)(-1)(10)(2)(1)(1)(1)(1)=-40
Jadi determinan dari matriks A adalah -40

Dekomposisi Metode Doolittle

Pada prinsipnya metode doolittle dengan metode crout hampir sama yaitu dengan mengubah suatu matriks menjadi dua buah matriks segitiga bawah dan atas, yang membedakan adalah susunan unsur-unsur dari matriks segitiga bawah dan atas. Rumus umum mencari unsur atau elemen matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U) adalah:

Contoh Soal:

Hitunglah determinan matriks berikut menggunakan dekomposisi metode doolittle!

Disini saya menggunakan matriks yang sama dengan matriks yang ada pada soal metode crout, namun kali ini kita akan menyelesaikannya dengan cara doolittle dan nanti hasilnya harus sama yaitu -40.

Langkah-langkah:

Iterasi 1