Kontinuitas Fungsi

Teorema

f(x)kontinu di x=a jika limx→a+f(x)=limx→a−f(x)=f(a)

Keterangan :

x→a+ artinya x mendekati a dari kanan

x→a−artinya x     mendekati adari kiri

Tidak kontinu sama artinya dengan diskontinu

Contoh Soal:

1. Dimana f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x+3x2+5xx−4x+3x≥4−2≤x<4x<−2 diskontinu ?

2. Jika 

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪2x+ax2+ax+b6−xx≥20≤x<2x<0,

dan f(x)kontinu di semua titik, maka tentukan nilai dari 5a−b?

Jawab

1. Karena 

f(x)bernilai banyak dan terbagi pada beberapa interval maka kita harus cek di sambungan interval yaitu di x=4dan x=2

Selain itu kita harus cek di x=−3karena f(x)=x−4x+3untuk x<−2

Jawabannya : f(x)diskontinu di x=4dan x=−3

Keterangan :

Untuk x=4

limx→4+f(x)=limx→4+(2x+3)=11

limx→4−f(x)=limx→4−(x2+5x)=36

Karena limx→4+f(x)≠limx→4−f(x)maka f(x)diskontinu di x=4

Untuk x=−2

limx→−2+f(x)=limx→−2+(x2+5x)=−6

limx→−2−f(x)=limx→−2−(x−4x+3)=−6

f(−2)=(−2)2+5(−2)=−6

Karena limx→−2+f(x)=limx→−2−f(x)=f(−2)maka f(x)kontinu di x=−2

Untuk x=−3

Jelas f(−3)=−3−4−3+3=−70tidak terdefinisi, sudah cukup membuktikan f(x)diskontinu di x=−3

Jadi f(x) diskontinu di titik x = 4 dan x = -3

    2. Karena 

f(x)bernilai banyak dan semua fungsi parsial dari f(x)adalah polinom, maka kita cukup cek di sambungan interval

Untuk x=2 ↔ limx→2+f(x)=limx→2−f(x)

limx→2+(2x+a)=limx→2−(x2+ax+b)

4+a=4+2a+b

a+b=0

Untuk x=0 ↔ limx→0+f(x)=limx→0−f(x)

limx→0+(x2+ax+b)=limx→0−(6−x)

b=6

Jadi b=6 dan a=−6sehingga 5a−b=(−30)−6

=−36