Pertidaksamaan Bilangan Dan Harga Mutlak

Pengertian pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan dua hal tidak mempunyai kesamaan atau tidak sama dengan. Hubungan tidak sama dengan dapat dinotasikan dengan tanda:

< (kurang dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan
> (lebih dari)
≥ (lebih dari atau sama dengan)

Jika ada pertidaksamaan x < a maka niai x yang memenuhi adalah lebih kecil dari a dan dalam garis bilangan dilukiskan seperti

Jika ada pertidaksamaan matemati x ≥ a maka nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari a dan dalam garis bilangan dilukiskan

Sifat-sifat Pertidaksamaan Matetamatika

Sobat hitung menjadi sangat penting untuk mengetahui sifat pertidaksamaan sebagai hal mendasar untuk mengerjakan berbagai macam soal. Berikut sifat-sifat dari pertidaksamaan matematika

1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat menambahkan atau  mengurangkan suatu pertidaksamaan dngan bilangan atau suatu ekspresi matemtaika tertentu

Jika a > b maka:
a+c > b+c ; a-c > b-c
Jika a<b maka:
a+c < b+c ; a-c < b-c
misalnya
x + 6 > 8 ⇒ x+6-6 > 8-6 ⇒ x > 2

2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat mengalikan atau membaginya dengan bilangan POSITIF

Jika a > b dan c > 0 maka
ac > bc dan a/c > b/c
milsalkan
4x ≥ 12, Jika sobat membagi masing masing ruas dengan angka 4 (positif) 4x/4 ≥ 12/ 4 ⇒ x  ≥ 3

3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan NEGATIF

Jika a > b dan c < 0 maka:
ac < bc dan a/c < b/c (amati bahwa tanda berbalik)
Banyak sobat hitung yang mungkin lupa dengan keharusan membalik tanda. Contohnya seperti berikut

-3x ≥ 9 untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut sobat harus membagi tiap ruas kanan dan kiri dengan -3 atau dengan kata lain mengalikan tiap ruas dengan -1/3. Karena dikali dengan bilangan negatif maka tanda wajib berbalik.
-3x ≥ 9 ⇒ -3x/-3 ≤ 9/-3 ⇒ x ≤ -3 (amati tanda berbalik)

4. Eksponen (Pemangkatan) Pertidaksamaan

Ada yang unik dari pemangkatan pertidaksamaan matematika, tanda pertidaksamaan berbalik tergantung dari ganjil atau genapanya pangkatnya.

jika  a > b > 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 > b3 > 0
a4 > b4 > 0
a5 > b5 > 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn ; a bilangan asli

jia a < b < 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 < b3 < 0
a4 > b4 > 0
a5 < b5 < 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn, jika n genap dan an < bn jika n ganjil

Contoh
x < -2 jika sobat pangkatkan dua didapat x2 > (-2)2 (tanda berubah jika n genap akan selalu an > bn) dan logikanya masuk jika x saja kurang dari -2 (-3, -4, -5, dst) pasti x2 hasilnya akan selalu lebih dari 4, -32 = 9; -42 = 16, dst.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Kuadrat

Selama ini ada beberapa bentuk pertidaksamaan kuadrat, diantaranya:

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan dengan vaiable berpangkat 1
Contoh
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x-2 < x+8
Jawab
3x-2 < x+8
3x-x < 8+2
2x < 10
x<5

Pertidaksamaan Kuadrat

Cobat sobat tentukan nilai x dari pertidaksamaan kuadrat berikut x2-x-6≤0
Jawab:
x2-x-6 ≤ 0
(x-3) (x+2) ≤ 0
x1 = 3 dan x2 = -2
garis bilangan dari pertidaksamaan (x-3) (x+2) ≤ 0

dari gambar di atas sobat sudah tahu mana area yang menghasilkan nilai positif dan negatif. Kemudian karena tanda pertidaksamaan adalah  ≤ 0 maka nilai yang memenuhi pertidaksamaan matematika (x-3) (x+2) ≤ 0 adalah yang menghasilkan x2-x-6 ≤ 0 bernilai negatif yaitu -2≤x≤3

Pertidaksamaan Harga Mutlak

Nilai mutlak dinyatakan dengan tanda kurung pagar. Mutlak dari x dinyatakan dengan notasi ∣x∣. Yang dimaksud dengan nilai atau harga mutlak dari suatu bilangan sama dengan nilaipositif dari bilangan tersebut. Misal nih

∣3∣= 3 dan ∣3∣ = 3

jadi dalam nilai/ harga mutlak berlaku x untuk  x ≥ 0 dan -x untuk x < 0.

Pertidaksamaan harga mutlak merupakan pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Sifat-sifat dari harga mutlak sebagai berikut

Untuk a > 0 maka
∣x∣< a jika dana hanya jika -a < x < a
∣x∣> a jika dan hanya jika x<-a atau x > a

Contoh
tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
∣2x-1∣ < 5

⇒    -5 < 2x-1 < 5
-5+1 < 2x-1+1 <5+1 (masing-masing ruas ditambah 1)
-4 < 2x < 6 (masing-masing ruas dibagi 2)
-2 < x < 3
jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah -2 < x < 3

Contoh Berikutnya
∣2x-1∣ ≥ 3
⇒ 2x-1 ≤ -3 atau  2x-1 ≥ 3
2x-1 ≤ -3
2x ≤ -2
x ≤ -1
2x-1 ≥ 3
2x ≥ 4
x ≥ 2