- Maksimum dan Minimum
Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.
Definisi :
Andaikan S, daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa:
- f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S
- f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S
- f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum
Teorema A
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim :
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I = [a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung. (Lihat Gambar B)
Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 disebut c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafik f mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner. (Gambar C )
Jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, disebut c titik singular. Grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.
Teorema B
(Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :
i. titik ujung I
ii. titik stasioner dari f (f’(c) = 0)
iii. titik singular dari f (f’ (c) tidak ada)
Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I .
Langkah 1 : Carilah titik-titik kritis dari f pada I
Langkah 2 : hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.
soal :
Carilah nilai- nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x2 + 4x pada [-3, 1]
Penyelesaian:
Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4
Kemudian mencari titik kritis f’(x) = 0
2x + 4 = 0
X = -2
Berarti titik-titik kritis yang di dapat -3, -2, 1 maka :
f(-3) = -3
f(-2) = -4
f(1) = 5
Jadi nilai maksimum adalah 5 (dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)
2.Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi :
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :
- f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
- f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2dalam I, x1 > x2 → f(x1) > f(x2)
- f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I
Teorema A
(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I
- Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
- Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Turunan Pertama dan Kemonotonan
Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)
Turunan Kedua dan Kecekungan
Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah
Definisi:
Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.
Teorema B
(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).
- Jika f’’(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
- Jika f’’(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)
Titik Balik
Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Gambar
soal :
Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
Mencari turunan f
f’(x) = 3x2 + 12x + 9
= 3 (x2 + 4x + 3)
= 3 (x+3)(X+1)
Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu xatas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah.
Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1]
Grafik
f(-3) = 3
f(-1) = -1
f(0) = 3
3.Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi :
Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :
- f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
- f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
- f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL
Teorema A
(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
- Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
- Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
- Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
i. Jika f’’(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f
ii. Jika f’’(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f
soal :
Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 7 pada (-∞,∞)
penyelesaian:
fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global.
Langkah-langkahnya:
1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk besaran-besaran kunci
2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut
3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x
4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang
5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0
6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau minimum
soal :
Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3 – 3x2+4 pada ( -∞, ∞).
Penyelesaian :
f`(x) = 3x2 – 6x = x(3x – 6)
x=0 dan x= 2
f(2) = 0
f(0) = 4
fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)
5.Penerapan Ekonomik
Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaaan Kata Marjinal
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim
Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
soal :
andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000
penyelesaian :
Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x 1/2) /x
Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2
Pada X = 400 diperoleh
Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960
Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960
Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.
6.Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞
Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.
Definisi:
(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan sedemikian sehingga
X > M → │f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→ -∞
berpadanan sedemikian sehingga
X < M → │f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
x→c+
positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga
0 < x – c < δ→ f(x) > M
Hubungan Terhadap Asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika
Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b
x→∞ x→ -∞
Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.
soal :
. lim 3x2 – 2x + 6 / 6x2 – 5x -9
x→ ~
lim 3x2/x2 – 2x/x2 + 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2 + 9/x2 = 3/6 = 1/2
x→ ~
7.Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.
POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.
RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Langkah 1 :
Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :
a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.
b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)
c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.
e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal.
f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.
g. Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2 :
Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)
Langkah 3 :
Sketsakan grafik.
soal :
Sketsakan grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108
penyelesaian :
karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 – 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2 – 30)/108 = 0
kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± Ö15 » 3,85 Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108 = {10x2 (x2-9)}/108
kita peroleh titik kritis -3, 0, 3
f(-3) = 3
f(0) = 0
f(3) = 12
kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x3-180x)/108 = {x(40x2-180)}/108
kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0
f(-2.1) = 1.8
f(2.1) = -1.8
f(0) = 0
8.Teorema Nilai Rata-Rata
Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.
GAMBAR 1 dan 2
Teorema A
(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f(b) –
f(a) /
b – a =
f’(c)
atau secara setara, dimana
f(b) – f(a) = f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C
Untuk semua x dalam (a,b)
soal:
Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada [1,3]
penyelesaian :
f’(x) = 2x
dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4
jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2
jawaban tunggal adalah C = 2
