Ruang Vektor, Kombinasi Linear, Membangun Ruang, dan Bebas Linear


  • Ruang -N Euclides


Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang Rn dikenal sebagai vektor Euclides sedangkan ruang vektornya disebut ruang n–Euclides.
Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.
Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.
  1. u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn
  2. u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]
  3. ku = [ku1, ku2,…, kun]
  4. u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn
  5. |u| = (u•u)1/2 = 




  • Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :
(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.
(2) u+v = v+u 
(3) u+(v+w) = (u+v)+w
(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0
(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0
(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
(7) k(u+v) = ku + kv
(8) (k + l)u = ku + lu
(9) k(lu) = (kl)u
(10) 1u = u

Contoh:
Misal diberikan V = R^2 dan didefinisikan
\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\end{pmatrix}
k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k x_1\\ k y_1\end{pmatrix}
Ambil sembarang u,v,w \in R^2 dan k,l \in \mathbb{R} dengan
u = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}, v= \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} x_3\\ y_3\end{pmatrix}
Perhatikan bahwa,
1.  u+v = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix} \in R^2
2.  u+v = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_2+x_1\\ y_2+y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}
= v+u
3.  (u+v)+w = \left( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} (x_1+x_2)+x_3\\ (y_1+y_2)+y_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1+(x_2+x_3)\\ y_1+(y_2+y_3) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2+x_3\\ y_2+y_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix} \right)
= u+(v+w)
4.  Klaim bahwa \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} identitas di R^2. Pehatikan bahwa
\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
Jadi, \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} adalah identitas di R^2.
5.  Ambil sebarang u \in R^2. Klaim bahwa -u \in R^2. Perhatikan bahwa
u+(-u) = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_1\\ -y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+(-x_1)\\ y_1+(-y_1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}
(-u)+u = \begin{pmatrix} -x_1\\ -y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_1+x_1\\ -y_1+y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}
Jadi, -u invers dari u untuk sebarang u \in R^2.
6.  V : \mathbb{R} \times R^2 \to R^2
ku = k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} \in R^2
7.  k(u+v) = k \left( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right)
= k \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} k(x_1+x_2)\\ k(y_1+y_2) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} kx_1+kx_2\\ ky_1+ky_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} kx_2\\ ky_2 \end{pmatrix}
= k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}
= ku + kv
(k+l)u = (k+l) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} (k+l)x_1\\ (k+l)y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} kx_1+lx_1\\ ky_1+ly_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} lx_1\\ 1y_1 \end{pmatrix}
= k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= ku + lu
8.  (kl)u = (kl) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} (kl)x_1\\ (kl)y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} k(lx_1)\\ k(ly_1) \end{pmatrix}
= k \begin{pmatrix} lx_1\\ ly_1 \end{pmatrix}
= k \left( l \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} \right)
= k(lu)
9.  1_F \cdot u = 1_F \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1_F x_1\\ 1_F y_1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}
= u
Jadi, R^2 adalah ruang vektor atas lapangan \mathbb{R}.

  • Kombinasi Linear
Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
                     x = k1u1+ k2u2 +… + knun
dimana k1, k2,…,kn adalah skalar
Contoh:
Periksa apakah (3,5,7) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor u=(1,1,2), v=(1,0,1), dan w=(2,1,3).
PEMBAHASAN
Untuk menentukan apakah (3,5,7) merupakan kombinasi linear dari u,v,w, kita harus menemukan skalar-skalar k1, k2, k3 yang memenuhi:
Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian.
Diperoleh sistem persamaan linear.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah
Dengan Operasi Baris Elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu:
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
Diperoleh 0=2 pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.
Jadi, tidak ada skalar k1, k2, k3 yang memenuhi. Dengan kata lain, (3,5,7) bukan merupakan kombinasi linear dari u,v,w.

  • Membangun Ruang Vektor
Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V
Contoh:
Periksa apakah 
 merentang ruang vektor R3.
PEMBAHASAN
Ambil sebarang v Ɛ R3. Tulis v=(a,b,c), untuk suatu a,b,c Ɛ R.
Kita harus menentukan apakah v dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
v ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S
Diperoleh sebuah sistem persamaan linear
Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \mathbb{R}^3 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.
Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.
Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah
Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.
determinan matriks A contoh 1
Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang R3.

  • Kebebasan Linear
Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :
                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0
penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh Soal:

di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)

Aplikasi Turunan Kedua

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk melakukan hal-hal berikut. Menentukan selang di mana suatu fungsi cekung ke atas atau cekun...