Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matrik

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) menggunakan matrik, yaitu:

• Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
3. Dibawah 1 utama harus nol.

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini menggunakan metode eliminasi gauss!

Jawab:

Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh

Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh

• Metode Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini menggunakan metode gauss jordan!

Jawab:

Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh

Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh

• Metode Cramer
  
  Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :
  
  X1 = det (A1) / det (A)X2 = det (A2) / det (A)
  
  
  Xn = det (An) / det (A)
  
  Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.
  
  Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :
  -x1 + x2 + 2x3 = -5
  2x1 - x2 + x3 = 1
  x1 + x2 - x3 = 5
  jawab :
  
  bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :
  
  Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :
  
  Det A = {(-1).(-1).(-1)+ 1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
  ={ (-1 + 1 + 4) – (-2 + (-1) + (-2)} = { 4 – (-5)} ={ 4 + 5} = 9
  
  Det A1 =
  
  Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10 + (-5) + (-1) ) = 2 + 16 = 18
  
  Det A2=
  
  Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9
  
  Det A3=
  
  Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18
  Sehingga diperoleh :
  X1= Det (A1 )/ Det (A) = 18 /9 = 2
  X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
  X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
  Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah :
  
  X1= 2 , X2= 1 , X3= -2