Nilai Eigen & Vektor Eigen serta Diagonalisasi

• Nilai & Vektor Eigen

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,

Ax = lx

l disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

yang bersesuaian dengan nilai eigen, l= 3, karena :

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,

                                   Ax = l.I.x

                         (lI – A)x = 0

Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

(1)Bentuk matrik (lI – A)

(2)Hitung determinan, det(lI – A)=0

(3)Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

(4)Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5)Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

Contoh:
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari

Jawab:

Bentuk, lI – A yaitu :

Persamaan karakteristiknya adalah :

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(lI – A)x = 0

Untuk l = 1, diperoleh SPL

Untuk l = 2 dan l = 3, kalian dapat mencoba caranya sendiri seperti diatas, hasilnya adalah

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan :

l= 1 adalah x = [1,1,1] ;

l= 2 adalah x = [2,3,3] ;

l= 3 adalah x = [1,3,4]

• Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn, 

(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1

(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, l1, l2, … ,ln

Contoh:

Tentukan diagonalisasi dari matrik

Jawab:

Dari hasil vektor eigen yang sudah dicari diatas, dapat kita rangkai menjadi matrik, sehingga menjadi

Untuk mencari diagonalisasi terdapat rumus, yaitu:

P^-1 adalah invers matrik dari P dan diperoleh

Sehingga diagonalisasi dapat kita cari