- Basis
Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :
§ S bebas linier
§ S membangun V
- Dimensi
Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.
Contoh 1:
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )
atau
( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3 = b1
2k1 + 9k2 + 3k3 = b2
k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2)
adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1 + 2k2 + 3k3 = 0
2k1 + 9k2 + 3k3 = 0
k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik, maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.
Contoh 2:
Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2]T, u2=[2,1,2]T dan u3=[1,3,3]T. Apakah S basis untuk R3.
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :
k1u1
+ k2u2 +
k3u3 = x
k1 [1,2,1]T + k2[2,1,2]T + k3 [1,3,4]T = [x1,x2,x3]T
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem
persamaan linier
Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S
adalh basis untuk R3.
Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :
§ S bebas linier
§ S membangun V
Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.
Contoh 1:
Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2]T, u2=[2,1,2]T dan u3=[1,3,3]T. Apakah S basis untuk R3.
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :
Contoh 1:
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )
atau
( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3 = b1
2k1 + 9k2 + 3k3 = b2
k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 (1.2)
adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1 + 2k2 + 3k3 = 0
2k1 + 9k2 + 3k3 = 0
k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik, maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.
Contoh 2:Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2]T, u2=[2,1,2]T dan u3=[1,3,3]T. Apakah S basis untuk R3.
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :
k1u1
+ k2u2 +
k3u3 = x
k1 [1,2,1]T + k2[2,1,2]T + k3 [1,3,4]T = [x1,x2,x3]T
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem
persamaan linier
Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S
adalh basis untuk R3.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar