AMATIORY

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Fungsi f adalah suatu aturan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua (daerah hasil).

Persamaan fungsi, ditulis dengan y=f(x) dengan x disebut variabel bebas dan y variabel tak bebas, dimana nilai y tergantung pada nilai variabel bebas x.

Grafik fungsi y=f(x) adalah himpunan semua titik (x,y) di R2, sedemikian rupa sehingga (x,y) merupakan pasangan bilangan berurut.

Klasifikasi Fungsi

Fungsi-fungsi Aljabar

Fungsi polinomial

Fungsi rasional

Fungsi irrasional

Fungsi-fungsi transendent

Fungsi trigonometri

Fungsi invers trigonometri

Fungsi logaritma asli

Fungsi ekponensial

Fungsi-fungsi khusus

Fungsi dengan banyak persamaan

Fungsi dengan nilai mutlak

Fungsi genap/ganjil

Fungsi periodik

Fungsi tangga satuan

Grafik Fungsi

Untuk membuat grafik fungsi, tahapan yang dapat dilakukan adalah :

Tentukanlah daerah asal dan daerah hasilnya

Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat

Buatlah diagram pencarnya

Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva

Fungsi polinomial

Contoh:

Buatlah sketsa grafik kubik,

y=4x3 – 8x2 – 15x + 9

pada interval, x=–2 dan x=3. Tentukan pula akar-akar persamaan kubiknya

Jawab

Perhatikan tabel berikut :

x –2 –1 0 1 2 3

----------------------------------------

y –25 12 9 –10 –21 0

Dari sketsa grafik akar-akar persamaan, 4x3– 8x2– 15x + 9 = 0, adalah : x= –1,5; x= 0,5 ; x=3

Fungsi Rasional

Bentuk umum fungsi rasional adalah

P(x) dan Q(x) polinomial, atau fungsi lainya.

Fungsi f(x) terdefinisi untuk Q(x)¹ 0, f(x) tidak terdefinisi/diskontinu, jika Q(x) = 0

Titik potong dengan sumbu x (jika ada) terjadi jika P(x) = 0

Asymtot tegak terjadi jika Q(x) = 0

Asymtot datar/miring (jika ada) terjadi untuk nilai x menuju tak hingga

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

$ax^2 + bx + c = 0$

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta $a \neq 0$ .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

$y = ax^2 + bx + c$

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

$y = ax^2$

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh $f(x) = 2x^2$ , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

$y = ax^2 + c$

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat $y = ax^2$ yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau $y_{puncak} = c$ . Sebagai contoh = $2x^2$ + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari $y = ax^2 + bx + c$ . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

$(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik $y = ax^2 + bx +c$ dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika $a> 0$ maka grafik terbuka ke atas, jika $a <$ maka grafik terbuka kebawah.

sifat grafik fungsi kuadrat kurva terbuka

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik $ax^2 + bx + c$ berada pada:

$x =-\frac{a}{2a}$

d. Titik potong sumbu y

Grafik $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

$ax^2 + bx + c$

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

Jika $D>0$ , grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika $D=0$ , grafik menyinggung sumbu x
Jika $D<0$ , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

titik potong sumbu x berdasarkan diskriminan

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik

Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

$y = ax^2 + bx + c$

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan $y = ax^2 + bx + c$ sebagai koefisien.

Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui

Jika titik potong sumbu x adalah $(x_1,0)$ dan $x_2,0$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui

Jika titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Jika grafik $y = x^2 + ax + b$ mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

Gunakan rumus $(-\frac{b}{2a})$ sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

$-\frac{a}{2(1)} = 1$

$a = -2$

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan $y = x^2 + ax + b$ diperoleh:

$2 = (1)^2 + a(1) + b$

$1 = a+ b$

Dari persamaan baru, substitusikan nilai $a = -2$ ,maka:

$1 = a + b = -2 + b$

$b =3$

Contoh Soal 2

Jika fungsi $y = ax^2 + 6x + (a+1)$ mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

$-\frac{b}{2a} = 3$

$-\frac{6}{2a} = 3$

$a =-1$

Sehingga fungsi y menjadi:

$y = -x^2 + 6x$

Nilai maksimumnya:

$-(\frac{b^2-4ac}{4a}) = -(\frac{6^2 - 4(-1)(0)}{4(-1)}) = (\frac{36}{4}) = 9$

Pengertian pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan dua hal tidak mempunyai kesamaan atau tidak sama dengan. Hubungan tidak sama dengan dapat dinotasikan dengan tanda:

< (kurang dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan
> (lebih dari)
≥ (lebih dari atau sama dengan)

Jika ada pertidaksamaan x < a maka niai x yang memenuhi adalah lebih kecil dari a dan dalam garis bilangan dilukiskan seperti

Jika ada pertidaksamaan matemati x ≥ a maka nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari a dan dalam garis bilangan dilukiskan

Sifat-sifat Pertidaksamaan Matetamatika

Sobat hitung menjadi sangat penting untuk mengetahui sifat pertidaksamaan sebagai hal mendasar untuk mengerjakan berbagai macam soal. Berikut sifat-sifat dari pertidaksamaan matematika

1. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat menambahkan atau mengurangkan suatu pertidaksamaan dngan bilangan atau suatu ekspresi matemtaika tertentu

Jika a > b maka:
a+c > b+c ; a-c > b-c
Jika a<b maka:
a+c < b+c ; a-c < b-c
misalnya
x + 6 > 8 ⇒ x+6-6 > 8-6 ⇒ x > 2

2. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah jika sobat mengalikan atau membaginya dengan bilangan POSITIF

Jika a > b dan c > 0 maka
ac > bc dan a/c > b/c
milsalkan
4x ≥ 12, Jika sobat membagi masing masing ruas dengan angka 4 (positif) 4x/4 ≥ 12/ 4 ⇒ x ≥ 3

3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik jika dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan NEGATIF

Jika a > b dan c < 0 maka:
ac < bc dan a/c < b/c (amati bahwa tanda berbalik)
Banyak sobat hitung yang mungkin lupa dengan keharusan membalik tanda. Contohnya seperti berikut

-3x ≥ 9 untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut sobat harus membagi tiap ruas kanan dan kiri dengan -3 atau dengan kata lain mengalikan tiap ruas dengan -1/3. Karena dikali dengan bilangan negatif maka tanda wajib berbalik.
-3x ≥ 9 ⇒ -3x/-3 ≤ 9/-3 ⇒ x ≤ -3 (amati tanda berbalik)

4. Eksponen (Pemangkatan) Pertidaksamaan

Ada yang unik dari pemangkatan pertidaksamaan matematika, tanda pertidaksamaan berbalik tergantung dari ganjil atau genapanya pangkatnya.

jika a > b > 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 > b3 > 0
a4 > b4 > 0
a5 > b5 > 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn ; a bilangan asli

jia a < b < 0 maka
a2 > b2 > 0
a3 < b3 < 0
a4 > b4 > 0
a5 < b5 < 0
dan seterusnya. Secara umum an > bn, jika n genap dan an < bn jika n ganjil

Contoh
x < -2 jika sobat pangkatkan dua didapat x2 > (-2)2 (tanda berubah jika n genap akan selalu an > bn) dan logikanya masuk jika x saja kurang dari -2 (-3, -4, -5, dst) pasti x2 hasilnya akan selalu lebih dari 4, -32 = 9; -42 = 16, dst.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Kuadrat

Selama ini ada beberapa bentuk pertidaksamaan kuadrat, diantaranya:

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan dengan vaiable berpangkat 1
Contoh
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x-2 < x+8
Jawab
3x-2 < x+8
3x-x < 8+2
2x < 10
x<5

Pertidaksamaan Kuadrat

Cobat sobat tentukan nilai x dari pertidaksamaan kuadrat berikut x2-x-6≤0
Jawab:
x2-x-6 ≤ 0
(x-3) (x+2) ≤ 0
x1 = 3 dan x2 = -2
garis bilangan dari pertidaksamaan (x-3) (x+2) ≤ 0

dari gambar di atas sobat sudah tahu mana area yang menghasilkan nilai positif dan negatif. Kemudian karena tanda pertidaksamaan adalah ≤ 0 maka nilai yang memenuhi pertidaksamaan matematika (x-3) (x+2) ≤ 0 adalah yang menghasilkan x2-x-6 ≤ 0 bernilai negatif yaitu -2≤x≤3

Pertidaksamaan Harga Mutlak

Nilai mutlak dinyatakan dengan tanda kurung pagar. Mutlak dari x dinyatakan dengan notasi ∣x∣. Yang dimaksud dengan nilai atau harga mutlak dari suatu bilangan sama dengan nilaipositif dari bilangan tersebut. Misal nih

∣3∣= 3 dan ∣3∣ = 3

jadi dalam nilai/ harga mutlak berlaku x untuk x ≥ 0 dan -x untuk x < 0.

Pertidaksamaan harga mutlak merupakan pertidaksamaan yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Sifat-sifat dari harga mutlak sebagai berikut

Untuk a > 0 maka
∣x∣< a jika dana hanya jika -a < x < a
∣x∣> a jika dan hanya jika x<-a atau x > a

Contoh
tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
∣2x-1∣ < 5

⇒ -5 < 2x-1 < 5
-5+1 < 2x-1+1 <5+1 (masing-masing ruas ditambah 1)
-4 < 2x < 6 (masing-masing ruas dibagi 2)
-2 < x < 3
jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah -2 < x < 3

Contoh Berikutnya
∣2x-1∣ ≥ 3
⇒ 2x-1 ≤ -3 atau 2x-1 ≥ 3
2x-1 ≤ -3
2x ≤ -2
x ≤ -1
2x-1 ≥ 3
2x ≥ 4
x ≥ 2

AMATIORY

Fungsi Dan Grafik Fungsi

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Klasifikasi Fungsi

Grafik Fungsi

Fungsi polinomial

Fungsi Rasional

Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

b. Titik Puncak

c. Sumbu Simetri

d. Titik potong sumbu y

e. Titik potong sumbu x

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Pertidaksamaan Bilangan Dan Harga Mutlak

Pengertian pertidaksamaan

Sifat-sifat Pertidaksamaan Matetamatika

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Harga Mutlak

Aplikasi Turunan Kedua

Cari Blog Ini