Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matrik

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) menggunakan matrik, yaitu:

• Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
3. Dibawah 1 utama harus nol.

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini menggunakan metode eliminasi gauss!

Jawab:

Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh

Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh

• Metode Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini menggunakan metode gauss jordan!

Jawab:

Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh

Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh

• Metode Cramer
  
  Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :
  
  X1 = det (A1) / det (A)X2 = det (A2) / det (A)
  
  
  Xn = det (An) / det (A)
  
  Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.
  
  Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :
  -x1 + x2 + 2x3 = -5
  2x1 - x2 + x3 = 1
  x1 + x2 - x3 = 5
  jawab :
  
  bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :
  
  Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :
  
  Det A = {(-1).(-1).(-1)+ 1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
  ={ (-1 + 1 + 4) – (-2 + (-1) + (-2)} = { 4 – (-5)} ={ 4 + 5} = 9
  
  Det A1 =
  
  Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10 + (-5) + (-1) ) = 2 + 16 = 18
  
  Det A2=
  
  Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9
  
  Det A3=
  
  Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18
  Sehingga diperoleh :
  X1= Det (A1 )/ Det (A) = 18 /9 = 2
  X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
  X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
  Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah :
  
  X1= 2 , X2= 1 , X3= -2

Invers Matriks dan Metode Penyelasaian Beserta Contoh Soalnya

Apa itu Invers Matriks?

Invers Matriks dilambangkan dengan pangkat minus satu ( …^-1 ), misalnya diketahui sebuah matrik A maka invers dari matrik A adalah A^-1 .

Suatu matriks dikatakan memiliki invers, jika matriks tersebut dikalikan dengan invers matriknya akan menghasilkan sebuah matrik identitas, misal terdapat suatu matrik yang diberi nama matrik A, maka invers matrik A dikali dengan matrik A akan sama dengan matrik A dikali invers matrik A dan mengahasilkan matrik indentitas.

A.A–1 = A–1.A = I

Metode Penyelesaian Invers Matriks

Ada beberapa cara atau metode untuk menyelesaikan invers matrik,yaitu:

1. Metode Adjoint Matrik
2. Metode Operasi Baris Elementer
3. Metode Perkalian Invers Matrik Elementer
4. Metode Partisi Matrik

Berikut adalah penjelasan dari keempat metode tersebut:

• Metode Adjoint Matrik

Adjoint Matrik dinotasikan dengan Adj(...), misal diketahui matrik A, maka adjoint dari matrik A bisa dinotasikan dengan Adj(A). Adjoint matrik A adalah transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen matriks A.

Adj(A)=(kof(A))T

Rumus dari adjoint A adalah:

Sedangkan rumus invers matriks menggunakan metode adjoint adalah:

Contoh soal:

Kasus Matriks berordo 3x3

Diketahui sebuah matrik A berordo 3x3, tentukan invers matriks A

Jawab:

det(A) bisa kita cari dengan berbagai, saya telah membahas pada postingan sebelum ini tentang Pengertian, Sifat-sifat, dan Penyelesaian Determinan Matriks, sedangkan minor matriks saya bahas dalam Transpose, Minor, dan Kofaktor Matriks.

Maka langkah selanjutnya adalah

Setelah kita memperoleh minor-minor dari unsur matrik tersebut, maka selanjutnya kita mentransposenya.

Maka invers dari matrik A adalah

Kasus Matriks berordo 4x4

Diketahui sebuah matrik B berordo 4x4, tentukan invers dari matrik B

Jawab:

Untuk soal matriks berordo 4x4 ini, saya telah membahas mencari determinannya menggunakan metode doolittle dan crout dipostingan sebelumnya Pengertian, Sifat-sifat, dan Penyelesaian Determinan Matriks, sehingga untuk determinannya saya langsung tulis saja hasilnya.

Selanjutnya kita transpose, sehingga menjadi

Maka invers dari matrik B adalah

• Metode Operasi Baris Elementer

Setelah kita mengetahui penyelesaian menggunakan metode adjoint, maka sekarang kita akan belajar cara yang lainnya yaitu Operasi Baris Elementer (OBE).

Contoh Soal:
 Tentukan invers matrik dari matrik berikut menggunakan metode operasi baris elementer (obe)!

Jawaban:

Karena baris 1 kolom 1 sudah bernilai 1, maka langsung selesaikan yang baris 2

Baris 4 kolom 2  sudah bernilai 0, maka langsung ke baris 1

Baris 3 kolom 4 sudah 0, maka langsung ke baris 2

• Metode Perkalian Baris Elementer

Untuk perkalian baris elementer ini, saya akan menggunakan contoh soal yang sama dengan contoh soal Operasi Baris Elementer, yang membedakan hanya metode pengerjaannya saja dan hasilnya nanti harus sama dengan hasil invers yang sebelumnya.

Contoh:

Tentukan invers matrik dari sebuah matrik dibawah ini menggunakan metode perkalian baris elementer!

Jawab:

Menghitung E1

Menghitung E2

Menghitung E3

Menghitung E4

• Metode Partisi Matrik

Pada prinsipnya metode partisi matrik adalah membagi suatu matrik menjadi 4 bagian, untuk contohnya saya masih menggunakan matrik yang sama dengan sebelumnya namun cara atau mentodenya yang berbeda.

Contoh:

Tentukan invers matrik dari suatu matrik berikut menggunakan metode partisi matrik!

Jawab:

Gimana materinya??

Demikian materi tentang invers matrik mudah-mudahan bermanfaat bagi saya dan juga para pembaca blog ini aminn...